MATRIKS DAN DETERMINAN

MATRIKS DAN DETERMINAN

                     A. MATRIKS

Pengertian Matriks

Matriks ialah bilangan-bilangan yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk sudut bangun persegi/ persegi panjang, dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku. Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n).

Jenis-jenis Matriks

Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut.

1. Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris.

2. Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom. Misalnya:

​​

3. Matriks persegi adalah matriks yang banyak baris sama dengan banyak kolom. Misalnya:

​​

4. Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol.

​​

5. Matriks identitas adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama dengan 1, sedangkan elemen-elemen lainnya sama dengan 0. Misalnya:

​​

 6. Matriks Skalar adalah matriks yang elemen-elemen diagonal utamanya sama, sedangkan elemen di luar elemen diagonalnya bernilai nol. Misalnya:

​​

7. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen di luar diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

​​

8. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

​​

​​

9. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya:

​​

10. Transpos matriks A atau (A t) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i dan sebaliknya, menuliskan kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-j

​

                    Operasi Pada Matriks

Jika matriks A dan B berukuran sama, maka

• Penjumlahan

Jumlah matriks A dan B ditulis A + B adalah suatu matriks yang diperoleh dari menjumah setiap unsur seetak dari A dan B

• Perkalian dengan skalar

Hasil kali matriks A dengan skalar k, ditulis kA adalah suatu matriks yang diperoleh dari perkalian konstanta k dengan setia unsur dari A

• Pengurangan

Selisih dari matriks A dan B ditulis A – B adalah suatu matriks yang diperoleh dari pengurang setiap unsur seletak dari A dan B.

​​

​​

                     Perkalian Matriks

Hasil kali matriks baris ukuran 1xn dan matriks berukuran nx1 adalah matriks ukuran 1×1 yang ditentukan oleh

Catatan :

• Jika matriks A berukuran mxp dan matriks B berukuran pxn, maka hasil kali matriks A dan B yang dinyatakan dengan AB adalah suatu matriks C yang berukuran mxn dimana cij adalah perkalian baris ke-i matriks A dengan kolom ke-j matriks B
• Perkalian matriks AB hanya didefinisikan untuk kasus banyaknya kolom matris A sama dengan banyaknya baris matriks B, diluar ketentuan ini, AB tidak didefinisikan

contoh :

​​

                     Sifat Penjumlahan dan Perkalian Matriks

Jika matriks A, B, C, matriks nol dan matriks satuan I maka untuk penjumlahan dan perkaliannya berlaku sifat berikut :

• Sifat komutatif terhadap penjumahan : A + B = B + A
• Sifat assosiatif terhadap penjumlahan : (A + B) + C = A + ( B + C)
• Sifat matriks nol : A + 0 = A
• Sifat lawan matriks : A + (-A) = 0
• Sifat asoasiatif terhadap perkalian : (AB) C = A (BC)
• Sifat distributif kiri : A(B + C) = AB + AC
• Sifat distributif kanan : (A+B) C = AC + BC
• Sifat perkalian dengan konstanta : k(AB) = (kA)B = A (kB) , dimana k konstanta real
• Sifat perkalian dengan matriks satuan : AI = IA = A
  
  

  B. DETERMINAN MATRIKS

  
  

  Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi

  a. Determinan Matriks Ordo 2 × 2

  Misalkan A =  adalah matriks yang berordo 2 × 2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan matriks A dinotasikan ”det A” atau |A| adalah suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

  
  Dengan demikian, dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

  
  

  det A =  = ad – bc

  b. Determinan Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan)

  Jika A =  adalah matriks persegi berordo 3 × 3, determinan A dinyatakan dengan det A = 

  Ada 2 cara yang dapat digunakan untuk menentukan determinan matriks berordo 3 × 3, yaitu aturan Sarrus dan metode minor-kofaktor.

  Aturan Sarrus

  Untuk menentukan determinan dengan aturan Sarrus, perhatikan alur berikut. Misalnya, kita akan menghitung determinan matriks A_{3 × 3}. Gambaran perhitungannya adalah sebagai berikut.
  

  

  Metode Minor-Kofaktor

  Misalkan matriks A dituliskan dengan [a_ij]. Minor elemen aij yang dinotasikan dengan M_ij adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya, dari matriks A_{3 × 3} kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 sehingga :
  

  

  Akan diperoleh M₂₁ =  . M₂₁ adalah minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1 atau M₂₁ = minor a₂₁. Sejalan dengan itu, kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya :

  M₁₃ = 

  
  

  Kofaktor elemen aij, dinotasikan K_ij adalah hasil kali (–1)^i+j dengan minor elemen tersebut. Dengan demikian, kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan :

  
  

  K_ij = (–1)^i+j M_ij

  
  

  Dari matriks A di atas, kita peroleh misalnya kofaktor a₂₁ dan a₁₃ berturut-turut adalah

  
  

  K₂₁ = (–1)²⁺¹ M₂₁ = –M₂₁ = 

  
  

  K₁₃ = (–1)¹⁺³ M₁₃ = M₁₃ = 

  
  

  Kofaktor dari matriks A_{3 × 3} adalah kof(A) =

  
  

  
  

  Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (atau kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan di atas. Perhatikan cara menentukan determinan berikut.

  Misalkan diketahui matriks A = 

  Determinan matriks A dapat dihitung dengan cara berikut.

  
  Kita pilih baris pertama sehingga

  
  

  det A = a₁₁ K₁₁ + a₁₂ K₁₂ + a₁₃ K₁₃

  = a₁₁ (–1)¹⁺¹ M₁₁ + a₁₂ (–1)¹⁺² M₁₂ + a₁₃ (–1)¹⁺³ M_{13
  =} 

  = a₁₁(a₂₂ a₃₃ – a₃₂ a₂₃) – a₁₂(a₂₁ a₃₃ – a₃₁ a₂₃) + a₁₃(a₂₁ a₃₂ – a₃₁ a₂₂)

  = a₁₁ a₂₂ a₃₃ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁

  = a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₁₂ a₂₃ a₃₁ + a₁₃ a₂₁ a₃₂ – a₁₃ a₂₂ a₃₁ – a₁₁ a₂₃ a₃₂ – a₁₂ a₂₁ a₃₃

  
  

  Tampak bahwa det A matriks ordo 3 × 3 yang diselesaikan dengan cara minor kofaktor hasilnya sama dengan det A menggunakan cara Sarrus.

  c. Sifat-Sifat Determinan Matriks

  Berikut disajikan beberapa sifat determinan matriks

  
  
  

  1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu nol.

  
  Misal  : 

  
  

  2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

  
  Misal B =  (Karena elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 sama).

  
  3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris/kolom lain maka determinan matriks itu nol.

  
  

  Misal A =  (Karena elemen-elemen baris ke-3 sama dengan kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

  4. |AB| = |A| ×|B|

  5. |AT| = |A|, untuk AT adalah transpose dari matriks A.

  6. |A^–1| =  , untuk A^–1 adalah invers dari matriks A. (Materi invers akan kalian pelajari pada subbab berikutnya).

  
  

  7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta. Sifat-sifat di atas tidak dibuktikan di sini.

Demikian penjelasan singkat terkait Matriks dan Determinan, semoga artikel ini membantu dan bermanfaat bagi kita semua, dan sampai jumpa di lain waktu.