BASIS DAN DIMENSI

BASIS DAN DIMENSI

Halo sahabat blogger, sebelumnya kita telah membahas sedikit tentang apa itu Diagonalisasi. Nah pada post kali ini, kita akan lanjut membahas tentang Basis dan Dimensi :) sebelumnya kalian pasti bertanya-tanya tentang apa sih Basis dan Dimensi itu? dan pertanyaan-pertanyaan lainnya seputar itu, jadi karena itulah, di post ini saya akan membahas Basis dan Dimensi dan menjawab sedikit pertanyaan itu.

Pengertian

Basis adalah suatu ukuran tertentu yang menyatakan  komponen dari sebuah vector. Sedangkan dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah ruang dengan dimensi 2 dan seterusnya.
Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :
Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :
        i.            S bebas linier;
      ii.            S serentang V.

Contoh Soal

Soal 1
Misalkan e1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ), e2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ), … , en = ( 0, 0, 0, … , 1 ). Dalam contoh pada pembahasan kebebasan linier, kita telah menunjukkan bahwa S = { e1, e2, … , en } adalah himpunan bebas linier dengan Rn. Karena setiap vector v = (v1, v2, … , vn) pada Rn dapat dituliskan sebagai v = v1e1 +  v2e2 + … + vnen, maka S merentang Rn sehingga S  adalah sebuah basis. Basis tersebut dinamakan basis baku untuk Rn.
Soal 2
Misalkan v1 = ( 1, 2, 1 ), v2 = ( 2, 9, 0 ), dan v3 = ( 3, 3, 4). Perlihatkan bahwa himpunan S = { v1, v2, v3 } adalah basis untuk R3.
Pemecahan. Untuk memperlihatkan bahwa S serentang R3, maka kita harus perlihatkan bahwa sembarang vector b = ( b1, b2, b3 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
b = k1v1 + k2v2 + k3v3
dari vector – vector pada S. dengan menyatakan persamaan ini dalam komponen-komponennya maka akan memberikan
( b1, b2, b3 ) = k1 ( 1, 2, 1 ) + k2 ( 2, 9, 0 ) + k3 ( 3, 3, 4 )
atau
( b1, b2, b3 ) = ( k1 + 2k2 + 3k3, 2k1 + 9k2 + 3k3, k1 + 4k3 )
atau
k1 + 2k2 + 3k3               = b1
2k1 + 9k2 + 3k3             = b2
k1            + 4k3             = b3                                               (1.1)
Jadi, untuk memperlihatkan bahwa S merentang V, maka kita harus perlihatkan bahwa system (1.1) mempunyai pemecahan semua pilihan b = (b1, b2, b3 ). Untuk membuktikan bahwa S bebas linier, kita harus perlihatkan bahwa satu – satunya pemecahan dari
k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0                                                   (1.2)
adalah k1 = k2 = k3 = 0
seperti sebelumnya, jika (1.2) dinyatakan dalam komponen – komponennya, maka pembuktian bebas linier akan direduksi menjadi pembuktian bahwa system tersebut  homogen
k1 + 2k2 + 3k3               = 0
2k1 + 9k2 + 3k3             = 0
k1            + 4k3             = 0                                           (1.3)
hanya mempunyai pemecahan trivial. Perhatikan bahwa system (1.1) dan system (1.3) mempunyai matriks koefisien yang sama. Jadi, menurut bagian – bagian (a), (b), (d) dari Teorema 15 pada bagian  Hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan, kita dapat secara serentak membuktikan bahwa S bebas linier dan merentang R3 dengan memperlihatakan bahwa matriks koefisien

Pada system (1.1) dan system (1.3) dapat dibalik. Karena

maka jelaslah dari Teorema 7 pada bagian Sifat-Sifat Fungsi Determinan bahwa A dapat dibalik. Jadi, S adalah sebuah basis untuk R3.
Soal 3
Himpunan S = { 1, x, x2, … , xn } merupakan basis untuk ruang vector Pn yang diperkenalkan dalam contoh 13 pada bagian Subruang. Dari contoh 18, vector – vector pada S merentang Pn. Untuk melihat bahwa S bebas linier, anggaplah bahwa suatu kombinasi linier dari vector – vector S adalah vector nol, yakni
c0 + c1x + … + cnxn = 0 (untuk semua x)                                              (1.4)
Kita harus perlihatkan bahwa c0 = c1 = … = cn = 0. Dari aljabar kita ketahui bahwa polinom taknol berderajat n mempunyai paling banyak n akar yang berbeda. Karena (1.4) memenuhi untuk semua x, maka setiap nilai x adalah sebuah akar dari ruas kiri, hal ini berarti bahwa c1 = c2 = … = cn = 0; kalau tidak, maka c0 + c1x + … cnxn dapat mempunyai paling banyak n akar. Maka himpunan S adalah himpunan bebas linier.
Basis S dalam contoh ini dinamakan basis baku untuk Pn.
Soal 3
Andaikan ruang V= {u, v, w, s}, di mana:
. Cari basis dan dimensi dari ruang V!
Solusi : (Menggunakan matriks)

Basis dari V={(-1, 1 , 1), (0, -1, 3)}
Dimensi V = 2.

Sekian tentang Basis dan Dimensi dari saya, semoga bermanfaat :D

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Transformasi Linear, Karnel Dan Jangkauan

Gambar
Transformasi Linear, Karnel Dan Jangkauan    Halo sahabat blogger, bagaimana materi kemarin? apakah free test nya mampu teman-teman jawab? haha saya harap tentu bisa ya :D. Oh iya, pada kesempatan kali ini kita akan membahas dan mempelajari tentang Transformasi Linear, Karnel dan Jangkauan. Jadi teman-teman sekalian, mari kita simak baik-baik materi di bawah ini.. 1. Transformasi Linear    Jika T: V → W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka T dikatakan transformasi linier jika: T( u + v ) = T( u ) + T( v ) untuk semua vektor u dan v di V T (k u ) = k T( u ) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k    T :  R 2 à R 3  dinamakan transformasi linear apabila untuk setiap u,v  ∈   R 2  dan k  ∈ W berlaku point-point yang di atas tadi.    Jadi kesimpulannya adalah, jika R 2 =R 3  maka T dinamakan operator linear. Contoh Soal:    Agar teman-t...
Baca selengkapnya

Basis Ruang Baris Dan Ruang Kolom

Gambar
Basis Ruang Baris Dan Kolom Assalamualaikum Wr Wb. Halo sahabat blogger, pada post kali ini kita akan membahas tentang Basis Ruang Baris Dan Kolom, ayo tanpa berlama-lama lagi langsung saja kita mulai pembahasannya.. Definisi: Jika A adalah suatu matriks m x n maka : sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax=0, yang merupakan suatu sub ruang dari R disebut ruang null dari A. Bentuk Umum: Free Test: Nah sekian tadi tentang post terkait Basis Ruang Dan Kolom, saya harap teman-teman dapat paham dengan penjelasan di atas. Oh satu lagi, khusus untuk post kali ini, saya mengadakan free test, tenang saja free test ini bebas kok mau di kerjain atau tidak :D. Tujuan nya tak lain dan tak bukan hanya untuk melihat seberapa baik nya teman-teman dalam menyimak materi d...
Baca selengkapnya

Pembahasan dan Contoh Soal Mengenai Nilai dan Vektor Eigen

Gambar
VEKTOR EIGEN      Halo teman-teman, kembali lagi bersama saya di blog sederhana ini. Pada postingan kali ini saya akan membahas tentang eigen, nah bagi yang tidak mengetahui atau baru mengenal eigen, Nilai Eigen  itu adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n . Yup, di post ini saya berharap teman-teman dapat mengerti pembahasan dan contoh soal nilai dan vektor eigen, langsung saja tanpa berlama-lama lagi, kita mulai. Perhatikan Matriks berikut ini :      Dari Matriks di atas tadi, teman-teman pasti dapat menyimpulkan sesuatu, yaitu bahwa jika suatu matriks bujur sangkar yang jika dikalikan dengan sebuah vector bukan nol, akan di atur sedemikian rupa sehingga hasilnya akan sama dengan sebuah perkalian dari sebuah bilangan scalar dengan vector tak nol itu sendiri, dan inilah yang dinamakan nilai eigen dan vector eigen. Di bawah ini adalah contoh soal yang diharapkan bisa membuat teman-teman lebih paham lagi tentang n...
Baca selengkapnya