SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Assalamualaikum Wr Wb. Halo teman-teman blogger tercinta, kembali lagi Bersama saya di blog ini. Nah pada kesempatan ini kita akan membahas sedikit tentang Sistem Persamaan Linear atau yang biasa kita singkat dengan nama SPL. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai pembahasannya :D

A. Metode Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss sendiri adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Nah sudah sedikit paham dengan apa yang di maksud dengan Metode Gauss itu? Untuk agar lebih paham lagi, mari kita lihat contoh soal di bawah.

Contoh Soal :
Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6
x + 3y + 2z = 9
2x + y + 2z = 12
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
1      2       1           6
1       3     2         9
2       1     2        12
Operasikan Matriks nya:
1     2     1     6
0     1     1     3
2     1     2     1                 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1
 
1     2     1    6
0     1     1     3
0    -3     0     0                 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1
 
1     1    1     6
0     1     1    3
0     0     3    9                   Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2
 
1     2    1     6
0     1    1     3
0    0    1      3                   Baris ke-3 dibagi dengan 3

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
x + 2y + z = 6
y + z = 3
z = 3


Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:
y + z = 3
y + 3 = 3
y = 0
x + 2y + z = 6
x + 0 + 3 = 6
x = 3
Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z =3

B. Metode Gauss Jordan
Sedangkan Eliminasi gauss-jordan ini adalah pengembangan dari eliminasi gauss yang hasilnya lebih disederhanakan lagi. Metode ini dimodifikasi oleh Wilhelm Jordan seorang insinyur Jerman pada tahun 1887. Dengan metode ini selain dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear juga dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.
  
Sehingga untuk mengoperasikan persamaan linear cara penyelesaiannya pun hampir sama dengan metode gauss, namun pada metode gauss kita hanya menghasilkan matriks yang eselon baris sedangkan metode eliminasi gauss-jordan ini perbedaanya hanya kita harus membuat elemen elemen diatas maupun dibawah diagonal utama menjadi bernilai nol. Sehingga hasilnya menjadi matriks eselon yang tereduksi yaitu menjadi sebuah matriks dengan diagonal satuan atau matriks identitas ( semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, sedangkan elemen lainnya bernilai nol ).

Berikut adalah contoh soalnya.

Contoh soal: 
Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1     2     3    3
0    -1   -4   -3
0    -3   -4   -1       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1
1     2    3    3
0    -1   -4   -4
0     0    8    8       Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2
1     2     3     3
0     1     4     3
0     0     1     1     Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -1
1     2     3     3
0     1     0    -1
0     0     1     1     Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3
1     2     0    0
0     1     0   -1
0     0     1    1       Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-3
1     0     0     2
0     1     0    -1
  0     0      1     1
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

C. Metode Crammer
Metode cramer ini ditemukan oleh matematikawan Swiss yang bernama Gabriel Cramer. Metode cramer adalah salah satu cara yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear yang terdiri dari beberapa persamaan dan variabel yang tidak diketahui.

Contoh soal: 
Gunakan aturan cramer untuk memecahkan SPL berikut :





-x1   +  x2   +  2x3  = -5
2x1  -   x2   +  x3    =  1
x1    +  x2     -   x3    =  5
jawab :
bentuk matriks yang ekuivalen dengan SPL tersebut adalah :
Dalam matrik A diperoleh det (A) dan det (Aj) dengan cara sarrus :

Det A = {(-1).(-1).(-1)+  1.1.1 + 2.2.1 } – { 1.(-1).2 + 1.1.(-1) + (-1).2.1}
 ={ (-1  + 1 + 4) – (-2 +  (-1) + (-2)}    = { 4 – (-5)}    ={ 4 + 5}      = 9
Det A1 =


Det A1 = ( -5 + 5 + 2 ) – (-10  +  (-5)  +  (-1) ) = 2 + 16 = 18
Det A2=


Det A2= (1 – 5 +20 ) – ( 2 + (-5) + 10 ) = 16 -7 = 9
Det A3=

Det A3= ( 5 + 1 + (-10) – ( 5 + (-1) + 10 ) = -4 -14 = -18

Sehingga diperoleh :
X1= Det (A1 )/ Det (A)  = 18 /9 = 2
X2 = Det (A2 )/ Det (A) = 9 / 9 = 1
X3 = Det (A3 )/ Det (A) = -18 / 9 = -2
Jadi pemecahan untuk SPL  tersebut adalah :
                                 X1= 2  ,       X2=  1  ,         X3= -2


Oke sekian post saya tentang Sistem Persamaan Linear, semoga bermanfaat :D

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Transformasi Linear, Karnel Dan Jangkauan

Gambar
Transformasi Linear, Karnel Dan Jangkauan    Halo sahabat blogger, bagaimana materi kemarin? apakah free test nya mampu teman-teman jawab? haha saya harap tentu bisa ya :D. Oh iya, pada kesempatan kali ini kita akan membahas dan mempelajari tentang Transformasi Linear, Karnel dan Jangkauan. Jadi teman-teman sekalian, mari kita simak baik-baik materi di bawah ini.. 1. Transformasi Linear    Jika T: V → W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka T dikatakan transformasi linier jika: T( u + v ) = T( u ) + T( v ) untuk semua vektor u dan v di V T (k u ) = k T( u ) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k    T :  R 2 à R 3  dinamakan transformasi linear apabila untuk setiap u,v  ∈   R 2  dan k  ∈ W berlaku point-point yang di atas tadi.    Jadi kesimpulannya adalah, jika R 2 =R 3  maka T dinamakan operator linear. Contoh Soal:    Agar teman-t...
Baca selengkapnya

Basis Ruang Baris Dan Ruang Kolom

Gambar
Basis Ruang Baris Dan Kolom Assalamualaikum Wr Wb. Halo sahabat blogger, pada post kali ini kita akan membahas tentang Basis Ruang Baris Dan Kolom, ayo tanpa berlama-lama lagi langsung saja kita mulai pembahasannya.. Definisi: Jika A adalah suatu matriks m x n maka : sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. sub ruang dari R yang terentang oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax=0, yang merupakan suatu sub ruang dari R disebut ruang null dari A. Bentuk Umum: Free Test: Nah sekian tadi tentang post terkait Basis Ruang Dan Kolom, saya harap teman-teman dapat paham dengan penjelasan di atas. Oh satu lagi, khusus untuk post kali ini, saya mengadakan free test, tenang saja free test ini bebas kok mau di kerjain atau tidak :D. Tujuan nya tak lain dan tak bukan hanya untuk melihat seberapa baik nya teman-teman dalam menyimak materi d...
Baca selengkapnya

Pembahasan dan Contoh Soal Mengenai Nilai dan Vektor Eigen

Gambar
VEKTOR EIGEN      Halo teman-teman, kembali lagi bersama saya di blog sederhana ini. Pada postingan kali ini saya akan membahas tentang eigen, nah bagi yang tidak mengetahui atau baru mengenal eigen, Nilai Eigen  itu adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n . Yup, di post ini saya berharap teman-teman dapat mengerti pembahasan dan contoh soal nilai dan vektor eigen, langsung saja tanpa berlama-lama lagi, kita mulai. Perhatikan Matriks berikut ini :      Dari Matriks di atas tadi, teman-teman pasti dapat menyimpulkan sesuatu, yaitu bahwa jika suatu matriks bujur sangkar yang jika dikalikan dengan sebuah vector bukan nol, akan di atur sedemikian rupa sehingga hasilnya akan sama dengan sebuah perkalian dari sebuah bilangan scalar dengan vector tak nol itu sendiri, dan inilah yang dinamakan nilai eigen dan vector eigen. Di bawah ini adalah contoh soal yang diharapkan bisa membuat teman-teman lebih paham lagi tentang n...
Baca selengkapnya